Precorso Matricole

Il corso consiste in cinque lezioni nelle quali verranno richiamate le basi della teoria degli insiemi, dell’analisi matematica e dell’algebra lineare. Il corso s’intende come un’introduzione a quegli argomenti che saranno trattati successivamente nei primi corsi di matematica della laurea in fisica.

L’obiettivo del corso sarà quello di trattare i suddetti argomenti in maniera prettamente formale, introducendo gli studenti alle nozioni fondamentali.

Le lezioni si terranno nei seguenti giorni con i seguenti orari

Le lezioni saranno suddivise con i seguenti orari: 9.00-9.45, 10.00-10.45, 11.00-11.45. Faremo una pausa di 15 minuti ogni 45 minuti di lezione.

Per chi volesse, potete riempire questo form e valutare il corso così che potrò migliorarlo negli anni a venire. Le risposte sono completamente anonime e la compilazione è libera!

Anche dopo la fine del corso non esitate a contattarmi per dubbi e difficoltà

• Davide Morgante: davide.morgante@mi.infn.it

Il mio ufficio è il DC/T/37 ubicato al piano terra. Venendo dall’aula B, proseguite sul corridoio principale fino alla fine di questo e andate a sinistra. Solitamente sono sempre lì, quando avete bisogno potete tranquillamente passare in ufficio. Se volete però esser certi di trovarmi, vi consiglio di inviarmi una mail qualche giorno prima per organizzarci.

Non ci sono referenze specifiche per il corso. Essendo argomenti molto introduttivi potrete però trovare molto su internet. Essendo voi studenti al primo anno, mi sento di darvi un caldo consiglio: imparate sin da subito a trovare e selezionare autonomamente il materiale da cui studiare. Succederà spesso, nella vostra carriera, di imbattervi in corsi dove verranno proposti molti riferimenti (libri, dispense and so on) oppure nessun riferimento. Nel primo caso, cercate sempre di non impuntarvi su una sola referenza: spesso avere più punti di vista su un singolo argomento è fondamentale per averne una comprensione profonda. Il secondo caso è quello più drastico; sappiate che internet è il vostro amico ma fate sempre attenzione a scegliere oculatamente dove studiare. Ad ogni modo, i vostri colleghi, più grandi e non, ed i vostri professori saranno il vostro strumento migliore per comprendere ed approfondire i vari argomenti che tratterete durante la laurea.

Riporto qui qualche esempio di referenze, per questo corso e per il futuro

• Ottima repository su github. Qui troverete svariate referenze, tutte open-source, sui più disparati campi della matematica. Vi incoraggio anche a dare una sfogliata a quelle referenze su argomenti piuttosto avanzati. Non fatevi spaventare!
• How to become a good theoretical physicist. Questo sito, organizzato da Gerardus ’t Hooft (fate attenzione all’apostrofo) uno dei più influenti fisici del 21esimo secolo, contiene una raccolta piuttosto esaustiva di referenze per i più svariati argomenti di fisica. Per i più audaci how to become a bad theoretical physicist.
• Simile al precedente, David Tong ha organizzato un sito con una raccolta di note da lui scritte su moltissimi argomenti di fisica, dai più banali ai più avanzati.

Per qualche esercizio attinente al corso, potete utilizzare i seguenti libri open-source

• Dal problema al modello matematico vol. 3. Qui troverete svariati esercizi sulle funzioni reali di variabile reale.
• Dal problema al modello matematico vol. 4. Qui troverete svariati esercizi di semplificazione ed equazioni con esponenziali e logaritmi.

Lezione 0: Introduzione

Riporto qui un’ottima risposta del mio collega Alessandro Candido alla domanda “Perché la matematica?”

Vorrei rispondere alla domanda: “a cosa mi servono tutte queste nozioni di matematica per affrontare dei corsi di fisica?“. Per molti studenti la risposta è già ovvia, anche perché fa parte dell’esperienza con i corsi di fisica del liceo, ma probabilmente non così approfondita.

Storicamente la studio della fisica ha spinto lo sviluppo di interi settori della matematica (si pensi all’origine dell’analisi, nel XVII secolo con Newton e Leibniz).

L’idea di fisica che uno studente del primo anno può avere a volte non combacia con quello che scopre successivamente. Questo è anche uno dei motivi per cui è bello e interessante continuare a studiarla: non basta leggere un libro per “sapere la fisica”, neanche in modo superficiale. Più si scende più appaiono concetti originali e connessioni inattese.

Per quanto riguarda la matematica:

• la fisica sperimentale deve molto alla statistica, sia a quella elementare che avanzata: più complicata è una misura più raffinata deve essere l’analisi che porta ad essa, e una trattazione naïve può dare risultati completamente inconsistenti (una “misura” è inteso in senso lato: non è solo quello che si misura direttamente, ma in particolare quei risultati che possono solo essere derivati dalla composizione ed elaborazione di misure dirette)
• la fisica teorica (a tratti) è difficilmente distinguibile dalla matematica, quindi la domanda è quasi oziosa

Uno studente di fisica per definizione studia fisica, e quindi è chiaro che i corsi che più probabilmente preferirà sono quelli che hanno fisica nel nome.

Ciononostante non ci sarebbe la fisica che conosciamo se non ci fosse la matematica, e tanti risultati (teorici e sperimentali) sarebbero impossibili senza l’elettronica e l’informatica.

Da questo ne segue un consiglio: godetevi tutti i corsi, perché sono tutti utili e importanti! anche se a volte diventa chiaro solo in seguito…

Lezione 1: Insiemi e Funzioni

In questa prima lezione abbiamo ripassato il concetto di insieme e considerato i vari insiemi numerici \(\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\). Per i più curiosi: numeri p-adici, quaternioni.

Per chi fosse interessato riporto qui le pagine Wikipedia relative alle varie strutture matematiche di interesse fisico citate a lezione: Anello (un esempio è $\mathbb{Z}$ con somma e prodotto), Campo (un esempio è $\mathbb{R}$ con somma e prodotto), Gruppo (un esempio è $\mathbb{Z}$ con la somma. I gruppi sono un ingrediente fondamentale della fisica moderna).

Successivamente abbiamo rivisto la definizione di funzione come mappa tra due insiemi: il dominio ed il codominio. Abbiamo visto come, a seconda di come la funzione mappa i due insiemi, possiamo avere tre possibilità

• Funzioni suriettive
• Funzioni iniettive
• Funzioni biunivoche (o invertibili)

Abbiamo introdotto poi il concetto di monotonia e di punto stazionario globale e locale.

Riporto qui alcuni esempi di classi di funzione con cui avrete più spesso a che fare

• Funzioni polinomiali: sono le funzioni definite sulla base dei polinomi, sommando potenze della variabile moltiplicate per coefficienti reali
• Funzioni razionali: sono quelle funzione che si ottengono come rapporti di funzioni polinomiali
• Funzioni trigonometriche: sono quelle funzioni legate agli angoli, fra cui il seno, il coseno e la tangente
• Funzioni esponenziali e logaritmiche

Le ultime due classi di funzioni sono in realtà relazionate tra loro nel campo dei complessi tramite la formula di Eulero.

Per chi ne avesse bisogno, riporto qui degli appunti dell’ex tutor del corso Vittorio Erba riguardanti questa lezione.

Lezione 2: Derivate di Funzioni

Abbiamo discusso l’interpretazione fisica della derivata con un esempio di meccanica classica dove la funzione $x(t)$ rapresenta la traiettoria di una particella puntiforme, e la sua derivata punto per punto $\dot{x}(t)$ rappresenta la velocità instantanea della suddetta particella.

Si è introdotta poi la definizione formale di derivata come limite del rapporto incrementale e abbiamo discusso le derivate delle funzioni di base $x^\alpha, \sin x, \cos x, \tan x, \log_a x, a^x$ con annessa dimostrazione della derivata di $x^n$ con $n\in \mathbb{N}$.

Abbiamo mostrato come la derivata agisce sulle operazioni binarie di base, in particolare come nel caso di somma tra due funzioni $f(x)+g(x)$ e prodotto per uno scalare $c f(x)$ questa agisca come un operatore lineare sullo spazio vettoriale delle funzioni. Abbiamo visto anche la regola di derivazione per le funzioni composte.

Si è poi mostrato come caratterizzare, tramite la derivata, i punti stazionari di una funzione e come la derivata seconda ci permetta di discernere tra max, min e punto di flesso. Inoltre abbiamo visto come la derivata seconda descriva la concavità di una funzione.

Per finire, abbiamo svolto qualche esercizio di ottimizzazione. In particolare vi invito a finire l’esercizio seguente iniziato a lezione

Fra tutti i triangoli rettangoli di perimetro fissato $2p$, trovare quello con area maggiore

Le note di questa lezione potete trovarle qui.

Lezione 3: Studi di Funzione

In questa lezione abbiamo visto come svolgere uno studio di funzione. Abbiamo individuato i seguenti passaggi fondamentali

• Calcolo del dominio
• Simmetrie della funzione (pari/dispari)
• Intersezioni con gli assi ($x=0$ per l’asse $y$, $y=0$ per l’asse $x$)
• Segno della funzione (dal quale possiamo inferire il codominio)
• Limiti ai bordi del dominio e alle eventuali singolarità
• Derivata prima per il calcolo dei punti stazionari (max, min, flessi) e della monotonia della funzione
• Derivata seconda per il calcolo dei flessi e della concavità

In particolare abbiamo studiato le seguenti funzioni

Se volete, potete provare a svolgere il seguente esercizio

Data la funzione \(f(x)=\frac{ax^3}{bx^2+c}\) con $a\neq 0$, trovare $a,b,c\in\mathbb{R}$ in modo tale che la funzione abbia un minimo in $(3,\log(9/2))$ ed un asintoto verticale in $x=\sqrt{3}$. Una volta determinata la funzione, rappresentarne il grafico.

Altri esercizi potete trovarli nel libro “Dal problema al modello matematico vol. 3” che trovate al link sopra.

Gli appunti della lezione sono qui.

Lezione 4: Integrali Definiti e Indefiniti

In questa lezione abbiamo visto come il concetto di integrale fuoriesca naturalmente in fisica quando vogliamo calcolare il lavoro di una forza variabile. Abbiamo così introdotto l’integrale definito tramite il limite delle somme parziali e abbiamo visto che l’integrabilità di una funzione è legata all’esistenza del suddetto limite delle aree superiori ed inferiori (questa definizione è dovuta a Bernhard Riemann; chiamiamo infatti questo integrale come integrale di Riemann. Vedrete poi in corsi più avanzati come questa definizione possa essere migliorata, in some sense, con il concetto di integrazione di Lebesgue).

Successivamente, si è introdotto il concetto di integrale indefinito come “applicazione inversa” (in realtà l’integrale definisce delle classi di equivalenza sullo spazio delle funzioni) alla derivata e ne abbiamo studiate le proprietà. Alcune derivano dal fatto che l’integrale indefinito è un operatore lineare

Si sono poi relazionati l’integrale indefinito con quello definito tramite il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Dopo aver introdotto gli integrali indefiniti delle funzioni fondamentali, abbiamo poi svolto alcuni esercizi a riguardo.

Vi ho lasciato i seguenti esercizi da svolgere per allenarvi, ma potete trovarne moltissimi altri nel vol.3 del libro riportato a inizio pagina

L’ultimo integrale che vi ho lasciato si può semplicemente svolgere col metodo dei fratti semplici

Gli appunti di questa lezione li trovate qui

Lezione 5: Algebra Lineare e Vettori

In questa lezione abbiamo visto le basi dell’algebra dei vettori. Partendo dalla costruzione geometrica di vettore, con la definizione naïve di vettore come freccia, abbiamo poi studiato le operazioni sui vettori tramite la loro rappresentazione cartesiana e polare.

Abbiamo introdotto poi le operazioni naturali sui vettori quali prodotto per scalare e somma tra vettori e come queste definiscano il concetto di spazio vettoriale, dove le due operazioni sono così definite: presi due elementi dell’insieme $V$ che chiamiamo vettori, la somma $+$ agisce comme

mentre il prodotto per uno scalare $c\in\mathbb{K}$ dove $\mathbb{K}$ è il campo su cui stiamo lavorando (nel nostro caso i reali $\mathbb{R}$), agisce come

Nel dettaglio abbiamo studiato le proprietà dei vettori in $\mathbb{R}^2$ e come su questi si possa definire anche un prodotto aggiuntivo detto prodotto scalare, ossia un’operazione

Questa operazione ci permette di capire quando due vettori sono perpendicolari, i.e.

Siamo passati poi in $\mathbb{R}^3$ dove tutte le strutture menzionate per $\mathbb{R}^2$ sono ancora valide ma abbiamo un’ulteriore prodotto, detto prodotto vettoriale ossia un prodotto

Questa operazione ci permette di capire quando due vettori sono paralleli, i.e.

Gli appunti della lezione sono qui

Valutazione del Precorso

Per chi volesse, potete riempire questo form e valutare il corso così che potrò migliorarlo negli anni a venire. Le risposte sono completamente anonime e la compilazione è libera!

Grazie mille e in bocca al lupo per la vostra carriera universitaria!